History and Hermeneutics for Mathematics Education

Storia ed Ermeneutica per la Didattica della Matematica

 

 

 

A treatise by Vincenzo Riccati (1752)

Un trattato di Vincenzo Riccati (1752)

 

 

Riccati, V. (1752), De usu motus tractori in constructione Aequationum Differentialium Commentarius, Lelio della Volpe, Bologna

 

RICCATI Vincenzo (1707-1775)

 

 

In this work we can find a method based upon a physical model, suggested (but not proved) by Clairaut (1713-1765) in 1742: so Vincenzo Riccati did not try to obtain general methods to solve differential equations: he considered a particular class of problems and examinated such equations from an unusual point of wiew.

In particular, the Author proposes the differential equation:

 

   

 

“formula, de qua saepe locuti sumus” (Commentarius, p. 63) in “Caput Octavum. Construuntur omnes aequationes differentiales, in quibus nulla inest summatoria ex duabus indeterminatis coalescens” (Commentarius, pp. 62-72). Riccati suggests:

 

   

 

If we differentiate, we have:

 

   

   

 

and if we remember the given equation we can write:

 

   

 

Finally we put:

 

   

 

so that:

 

   

 

“Analysis hujusmodi constructionem nos docet” (Commentarius, p. 64): let KG = a and let us consider the perpendicular line GE (fig. 13). It is now possible to trace “infinitas curvas, quae omnes habeant initium abscissarum in punctis lineae GE”, whose abscissas is:

 

    EL =

 

and ordinates:

 

    LF =

 

Let CE = y, S abscissa and T ordinate:

 

   

 

“quae est aequatio tertii gradus” (Commentarius, p. 64). If we move a thread from G to E, we trace a “tractoria” curve, so that when the extreme point of the thread is in E, the “punctum describens F” is in VZ, a curve with “initium abscissarum” in E. Finally we can trace KN parallel to FE: then GE = y and GN = q (Commentarius, p. 64).

 

 

(fig. 13)

 

Nel presente lavoro è illustrato un metodo basato su di un modello fisico, suggerito (ma non provato) da Clairaut (1713-1765) nel 1742: dunque Vincenzo Riccati non cercò di ottenere metodi generali per la risoluzione di equazioni differenziali: egli considerò una classe particolare di problemi ed esaminò tali equazioni da un punto di vista inusuale.

In particolare, l’Autore propone l’equazione differenziale:

 

   

 

“formula, de qua saepe locuti sumus” (Commentarius, p. 63), nel capitolo VIII (“Caput Octavum. Construuntur omnes aequationes differentiales, in quibus nulla inest summatoria ex duabus indeterminatis coalescens”, Commentarius, pp. 62-72). Riccati indica di porre:

 

   

 

Differenziando, si ottiene:

 

   

   

 

e sommando all'equazione proposta, si giunge a:

 

   

 

Viene dunque proposta un’ultima sostituzione:

 

   

 

pervenendo così all'integrazione:

 

   

 

“Analysis hujusmodi constructionem nos docet” (Commentarius, p. 64): sia quindi KG = a e si conduca la normale GE (fig. 13). Possono ora essere tracciate “infinitas curvas, quae omnes habeant initium abscissarum in punctis lineae GE”, con ascissa:

 

    EL =

 

ed ordinata:

 

    LF =

 

Posto CE = y e dette S le ascisse e T le ordinate:

 

   

 

“quae est aequatio tertii gradus” (Commentarius, p. 64). Muovendo un filo da G verso E, sarà descritta una trattòria, in modo che quando l'estremo del filo sarà giunto in E, il “punctum describens F” si trovi in VZ, curva avente “initium abscissarum” proprio in E. Potrà infine essere condotta la retta KN parallela a FE: sarà GE = y e GN = q (Commentarius, p. 64).

 

See moreover:

Si veda inoltre:

 

L’Hospital, G. de (1716), Analyse des infiniment petits, Papillon, Paris (II ed.).

Suzzi, G. (1725), Disquisitiones mathematicae, Lovisa, Venezia.

Newton, I. (1740), Le methode des fluxions et des suites infinites, Debure, Paris (I ed.: 1736).

Paulini a S. Josepho (P. Chelucci) (1755), Institutiones analyticæ earumque usus in Geometria, Gessari, Napoli.

Euler, L. (1787) Institutiones Calculi Differentialis cum eius usu in Analysi Finitorum ac Doctrina Serierum, I, II, Galeati, Pavia (II ed.; I ed.: 1755).

Euler, L. (1796), Introduction a l’Analyse Infinitésimale, I, II, Barrois, Paris (I ed. in French).

Brunacci, V. (1804), Corso di Matematica sublime, I, II, Allegrini, Firenze.

Lagrange, J.L. (1813), Théorie des fonctions analytiques, Courcier, Paris.

Cauchy, A.L. (1836), Vorlesungen uber die Differenzialrechung, Meyer, Braunschweig.

Lacroix, S.F. (1837), Traité elementaire du Calcul Différentiel et du Calcul Intégral, Bachelier, Paris (V ed.).

De Morgan, A. (1842), The differential and integral Calculus, Baldwin and Cradock, London.

Carmichael, R. (1855), A Treatise on the Calculus of Operations, Longman, Brown, Green and Longmans, London.

Sturm, Ch. (1868), Cours d’Analyse, I, II, Gauthier-Villars, Paris.

Laurent, H. (1885-1887-1888), Traité d’Analyse, I, II, III, Gauthier-Villars, Paris.

 

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(Giorgio T. Bagni, Editor)

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